ABSTAND VON ZWEI PUNKTEN

Auf dieser Seite leiten wir die Formel für ns Abstand produziert und rechnen drei Beispiele: Abstand zweier Punkte; einer Koordinate eines Punktes in gegebenem Abstand gesucht; Punkte auf einer Geraden in gegebenem Abstand gesucht. Ns letzte beispiel setzt voraus, dass sie bereits die Gleichung einen Geraden kennen.

Du schaust: Abstand von zwei punkten

Herleitung ns Formel

Gesucht ist das Abstand zweier Punkte $P(p_1|p_2|p_3)$ und $Q(q_1|q_2|q_3)$ im dreidimensionalen Raum. Kommen sie Herleitung ns Formel dachte wir uns ns Punkte zusammen Eckpunkte eines achsenparallelen Quaders in dem kartesischen Koordinatensystem. Ns Abstand der beide Punkte entspricht dann der Länge der Raumdiagonale:

*

Die Kantenlängen des Quaders entsprechen ns Koordinatendifferenzen (genau vergriffen jeweils dem schaf der Koordinatendifferenzen, dort Seitenlängen nicht negativ sind). Da drüben der Quader achsenparallel verläuft, stehen alle Kanten senkrecht aufeinander. Ns Dreiecke $PAB$ und $PBQ$ sind daher rechtwinklig, so dass wir von Berechnung das Flächendiagonale $d$ und ns Raumdiagonale $|overrightarrowPQ|$ den Satz des Pythagoras verwendet können.

Wir möchten die Raumdiagonale berechnen, die die Hypotenuse innerhalb Dreieck $PBQ$ bildet:

$color#f00overrightarrowPQ^2=color#f61d^2+color#1a1a_3^2$

Die Flächendiagonale $d$ ist das Hypotenuse in dem Dreieck $PAB$:

$color#f61d^2=color#18fa_1^2+color#a61a_2^2$

Wir setzen die zweite Gleichung bei die erste einen und ersetzen die $a_i$ aufgrund die Koordinatendifferenzen:

$eginalign*color#f00^2&=color#18fa_1^2+color#a61a_2^2+color#1a1a_3^2\&=(color#18fq_1-p_1)^2+(color#a61q_2-p_2)^2+(color#1a1q_3-p_3)^2endalign*$

Ziehen wir ist gut noch das Wurzel, so bekommt wir das Formel:


Zwei Punkte $P(p_1|p_2|p_3)$ und $Q(q_1|q_2|q_3)$ innerhalb dreidimensionalen platz $mathbb R^3$ haben ns Abstand

<|overrightarrowPQ|=sqrt(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2>


Es zu sein die Koordinaten von Verbindungsvektors $overrightarrowPQ=vec q-vec p=eginpmatrixq_1-p_1\q_2-p_2\q_3-p_3endpmatrix$, ns quadriert werden. Es ist no gerade selten der Fall, dass sie diesen Vektor in zusammengesetzten aufgaben benötigen, so dass es wesentlich ist, zunächst den Vektor zu berechnen. Oben jeden fall ist es übersichtlicher.

Gelegentlich finden man an der Formel ns Koordinaten vertauscht, also zum beispiel $(p_1-q_1)^2$. Innerhalb das Klammern dreh dich sich durch dies jeweils ns Vorzeichen um, und wegen $(-a)^2=a^2$ erhält man natürlich ebenfalls ns richtige Ergebnis. Lerntechnisch halte ich dies für verklappt geschickt: ns Struktur „Ende minus Anfang“ kommt in der Schulmathematik dafür häufig vor, dass man nur mit gutem Grund by dieser richtung abweichen sollte.

Beispiele

Beispiel 1: gefunden ist das Abstand ns Punkte $P(1|3|-2)$ und $Q(-4|2|5)$.

Lösung: uns berechnen zuerst ns Verbindungsvektor und nachher den Abstand:

$eginalign*overrightarrowPQ&=eginpmatrix-4\2\5endpmatrix-eginpmatrix1\3\-2endpmatrix=eginpmatrix-5\-1\7endpmatrix\|overrightarrowPQ|&= sqrt(-5)^2+(-1)^2+7^2=sqrt25+1+49=sqrt75approx 8,66 ext LEendalign*$

„LE“ steht für ns hier unbekannte Längeneinheit, deshalb zum beispiel m, cm, km.

Was passiert, wenn man die Punkte vertauscht?

$eginalign*overrightarrowQP&=eginpmatrix1\3\-2endpmatrix-eginpmatrix-4\2\5endpmatrix=eginpmatrix5\1\-7endpmatrix\|overrightarrowQP|&= sqrt5^2+1^2+(-7)^2=sqrt25+1+49=sqrt75approx 8,66 ext LEendalign*$

Im Verbindungsvektor ändern sich alle Vorzeichen. Wegen des Quadrierens macht das keinen Unterschied: ns Abstand das Punkte zu sein natürlich gleich.

Mehr sehen: Schallgeschwindigkeit In Km H, 1235 Km/H, Oder Schallgeschwindigkeit

Beispiel 2: das Punkte $P(-2|2|1)$ und $Q(4|u|3)$ sollen den Abstand 7 haben. Wie muss $u$ gewählt werden?

Lösung: ns Verbindungsvektor enthält eine Unbekannte:

$eginalign*overrightarrowPQ&=eginpmatrix4\u\3endpmatrix-eginpmatrix-2\2\1endpmatrix=eginpmatrix6\u-2\2endpmatrix\|overrightarrowPQ|&= sqrt6^2+(u-2)^2+2^2endalign*$

Mit ns Forderung $|overrightarrowPQ|=7$ empfängt wir einer Gleichung. Wenn man ns binomische rezept auflöst, laub sich das Gleichung mithilfe das $pq$-Formel lösen. Es geht aber sogar direkt:

$eginalign*sqrt6^2+(u-2)^2+2^2 &=7 & & |(ldots)^2\36+(u-2)^2+4 &=49 & & |-36-4\(u-2)^2 &=9 & & |sqrtphantom9\u-2 &=3 & & ext oder &u-2&=-3 & |+2\u_1 &=5 & & &u_2&=-1\endalign*$

Die Punkte $Q_1(4|5|3)$ und $Q_2(4|-1|3)$ komplett somit das Bedingung. Das Verbindungsvektoren $overrightarrowPQ_1=eginpmatrix6\3\2endpmatrix$ und $overrightarrowPQ_2=eginpmatrix6\-3\2endpmatrix$ unterscheiden wir nur in der mittleren Koordinate, und sogar dort zeigen im Vorzeichen.

Die nachdem Skizze stellt ns Situation graphisch dar (zur Hilfe bei der Vorstellung zu sein einer der Quader eingezeichnet).

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Auch ns Fragestellung „Welcher punkt auf ns $x$-Achse hat by … den Abstand …“ beruht auf dem gleichen Muster, da drüben zwei Koordinaten bekannt sind ($y=0,z=0$).

Beispiel 3: welche Punkte ns Geraden $g:vec x=eginpmatrix1\0\1endpmatrix+reginpmatrix1\-1\0endpmatrix$ von vom punkt $P(-3|-1|0)$ den Abstand $d=3sqrt2$?

Lösung: Wir platziert den punkt $Q(1+r|-r|1)$ das Geraden allgemein mithilfe ns Parameters dar und gehen zusammen oben vor:

$eginalign*overrightarrowPQ&=eginpmatrix1+r\-r\1endpmatrix-eginpmatrix-3\-1\0endpmatrix=eginpmatrixr+4\-r+1\1endpmatrix\|overrightarrowPQ|&= sqrt(r+4)^2+(-r+1)^2+1^2endalign*$

Da das Unbekannte in zwei zusammenarbeiten vorkommt, müssen ns Klammern gelöst werden. Im Verlauf ns Rechnung entfällt das absolute Glied, sodass die quadratische Gleichung aufgrund Ausklammern gelöst werden kann:

$eginalign*sqrt(r+4)^2+(-r+1)^2+1^2&=3sqrt 2 & & |(ldots)^2\r^2+8r+16+r^2-2r+1+1&=18\2r^2+6r+18&=18 & &|-18\2r^2+6r&=0 \r(2r+6)&=0 \r_1&=0 & & ext heu & 2r+6&=0 & &|-6\& & & & 2r&=-6 & &|:2\& & & & r_2&=-3 \endalign*$

Wir setzen ns Werte in $Q$ ns und erhalten die Koordinaten $Q_1(1|0|1)$ und $Q_2(-2|3|1)$ ns gesuchten Punkte. Sogar hierzu sonstiges eine Zeichnung:

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Man darf sich über der Zeichnung no verunsichern lassen: die Punkte auf der Geraden scheinen eine unterschiedliche Entfernung by $P$ zu haben, doch das liegt nur bei der Schrägbild, ns die Größen verzerrt darstellt.

Es gibt eine weitere Herangehensweise an die Aufgabe: man behauptet die Schnittpunkte das Geraden $g$ mit der co mit fokus $P$ und Radius $d$. Das Rechenweg ist fast identisch.

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Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015; © Ina juni Brabandt

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